АЛЕКСЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ МИЛЮТИН

(некролог)

      20 апреля 2001 года на 76-м году жизни скоропостижно скончался выдающийся российский математик Алексей Алексеевич Милютин. Обладая ярким талантом исследователя, А.А. Милютин всю свою жизнь посвятил беззаветному служению науке. Жажда познания нового, а также незаурядные воля и "искра божья" позволяли ему постоянно двигаться вперед, без устали осваивая новые и новые территории в той области математики, которая стала делом его жизни: в теории экстремума и в наибольшей мере - в теории оптимального управления. Напряженная работа не прекращалась вплоть до самой последней его минуты: сердечный приступ случился во время выступления Алексея Алексеевича на семинаре по оптимальному управлению, постоянным руководителем которого он являлся около 40 лет.

      А.А. Милютин родился 27 июля 1925 г. в Москве. Среднее образование, естественное развитие которого было нарушено войной, А.А. завершил на специальных курсах при Московском государственном университете. В 1943 году он поступает на механико-математический факультет Московского университета. Успешно окончив его в 1948 году, А.А. Милютин получает рекомендацию в аспирантуру того же факультета. Научная самостоятельность Милютина проявилась очень рано. В частности, он сам выбрал себе тему кандидатской диссертации. Она возникла из обсуждавшегося в университетских коридорах вопроса о том, являются ли линейно изоморфными пространства непрерывных функций на отрезке и на квадрате. А.А. Милютин дал положительный ответ на этот вопрос в 1951 году. Автор не подозревал, что тем самым он решил одну из известных проблем Банаха. Диссертация была защищена в том же году; оппонентами по ней были И.М.Гельфанд и Л.А.Люстерник. Но, к сожалению, результат остался неопубликованным и еще 15 лет неизвестным математикам, пытавшимся решить эту проблему. Вопрос вновь был поднят на Международном математическом конгрессе в Москве в 1966 г. (во время доклада А. Пелчинского). К счастью, экземпляр диссертации сохранился в библиотеке факультета, и результат был представлен на конгрессе, а позднее, благодаря инициативе и стараниям московских, харьковских и польских математиков, полностью опубликован (в сб. "Теория функций, функциональный анализ, и их приложения", Харьков, 1966, N 2). Этот результат занимает весьма почётное место в общей теории банаховых пространств.

    Кроме того, в диссертации А.А. было доказано, что не существует линейного изоморфизма между пространствами непрерывных функций на отрезке и на квадрате, который бы переводил С¹-функции двух переменных в С¹-функции одного переменного. Это доказательство основано на вычислении и сравнении ε-энтропии компактов С¹-функций в равномерных нормах. Идеи Милютина об ε-энтропии были переоткрыты несколько лет спустя А.Г. Витушкиным и А.Н.Колмогоровым.

      В 1950-х годах, занимаясь проблемой различения банаховых пространств С¹-функций одного и нескольких переменных, А.А. ввел в рассмотрение весьма мощный инвариант - "рост пространства", связанный со свойствами его вложения в универсальное пространство. Эти идеи были позднее использованы Г.М.Хенкиным для различения банаховых пространств С¹-функций одного и нескольких комплексных переменных.

       В 1954 году вместе с другими молодыми выпускниками мехмата МГУ А.А. Милютин был привлечен к работе в вычислительной группе Института физических проблем, созданной при академике Л.Д. Ландау и обслуживающей оборонную проблематику. Последующие годы, уже будучи сотрудником Института химической физики, А.А. Милютин продолжал много и успешно заниматься численным решением различных прикладных задач. Но все же основные его математические интересы лежали в области теории.

       Принцип максимума Понтрягина, полученный в конце 50-х годов, определил судьбу многих математиков, в том числе А.А. Милютина и его коллеги и товарища А.Я. Дубовицкого. Продумывание вопросов, связанных с задачами оптимального управления и доказательством принципа максимума, привело А.Я. Дубовицкого и А.А. Милютина к новому осмыслению всей проблематики теории экстремальных задач. Эта концепция была изложена ими в статье "Задачи на экстремум при наличии ограничений" (опубликованной в "Журнале вычислительной математики и математической физики" , N 3 за 1965 г.), ставшей программной как для самих авторов, так и для многочисленных последователей, благодаря необычайной ясности, простоте и эффективности заложенных в ней идей (т.н. схема Дубовицкого-Милютина). Эти идеи, в частности, позволили распространить принцип максимума на новые классы задач, в том числе на задачи с фазовыми ограничениями.

       Первый итог проведенным исследованиям по принципу максимума был подведен А.А. Милютиным в его докторской диссертации, защищенной в 1966 г. в Институте прикладной математики АН СССР. Помимо основных общих результатов в диссертации содержался первый пример т.н. четтеринга - экстремали, у которой при "посадке" на границу фазового ограничения наблюдается счетное число контактов с границей.

       Далее, в конце 60-х и в 70-е годы в серии работ А.Я. Дубовицкий и А.А. Милютин строят теорию принципа максимума для задач с регулярными и нерегулярными смешанными ограничениями. Их замечательным достижением явился "локальный принцип максимума" для нерегулярных смешанных ограничений, опубликованный в монографии "Необходимые условия экстремума в общей задаче оптимального управления", М., Наука, 1971.

       Дальнейшие усилия авторов были направлены на получение "интегрального" принципа максимума для задач с нерегулярными смешанными ограничениями. А.А. Милютину удалось найти новую форму (первоначальная содержалась в его совместных работах с А.Я. Дубовицким) представления условий принципа максимума, отражающую множественность и иерархию этих условий в общей задаче, а также новые пути их получения. Изложение этого материала составило содержание книги А.А. Милютина по теории принципа максимума, вышедшей в Физматлите в 2001 году после смерти автора.

       В конце 60-х годов А.А. начинает работать на кафедре Общих проблем управления механико-математического факультета МГУ. Он был одним из первых лекторов курса "Оптимальное управление'' на факультете, что оказало большое влияние на многие последующие книги по этому предмету. На семинаре, проводившемся совместно с Е.С.Левитиным, А.А. начинает интенсивные исследования по теории условий высших порядков. Он ставит вопрос о получении в оптимальном управлении необходимых условий второго порядка для задач с ограничениями типа неравенств, связанных с достаточными условиями столь же тесно, как это имеет место в задачах анализа и вариационного исчисления. Исследования привели к созданию абстрактной теории условий высших порядков в задачах с ограничениями, опубликованной в статье Е.С.Левитина, А.А. Милютина и Н.П. Осмоловского в УМН, 1978, т. 33, № 6.

       Абстрактная теория дала совершенно новые подходы к получению условий высших порядков в оптимальном управлении, и позволила его ученикам построить полную теорию квадратичных условий как в случае неособых (Н.П.Осмоловский), так и в случае особых (А.В.Дмитрук) оптимальных режимов.

        В конце 70-х годов А.А. Милютиным была доказана замечательная "теорема о конечной соразмерности" (сб. "Методы теории экстремальных задач в экономике", М., Наука, 1981), вскрывшая истинный смысл целой серии результатов других авторов по необходимым условиям высших порядков для особых режимов в оптимальном управлении. В эти же годы А.А. нашел удачное обобщение известной теоремы Люстерника о касательном подпространстве на произвольные метрические пространства, представив ее как теорему о накрывании (УМН, 1980, 35:6). Эта трактовка приобрела широкую популярность среди специалистов по нелинейному анализу.

        Примерно с середины 80-х А.А. Милютина все больше занимают проблемы, связанные не с получением новых условий экстремума, а с тем, как сделать эти условия рабочим аппаратом для исследования задач оптимального управления. Так появляются теоремы об отсутствии скачков и сингулярных составляющих у мер - множителей Лагранжа при фазовых ограничениях в условиях принципа максимума, вошедшие в монографию "Необходимое условие в оптимальном управлении", М., Наука, 1990.

        С помощью принципа максимума исследуются особенности экстремалей типа четтеринга, возникающие при посадке на границу фазового ограничения и при переходе с неособого режима на особый. Полученные результаты изложены в монографиях В.В. Дикусара и А.А. Милютина "Качественные и численные методы в принципе максимума", М., Наука, 1989, и А.А. Милютина, А.Е. Илютовича, Н.П. Осмоловского и С.В. Чуканова "Оптимальное управление в линейных системах", М., Наука, 1993. При помощи квадратичных условий А.А. исследует свойство жесткости траекторий управляемых систем (Труды ММО, 1999, т. 60) и особые геодезические относительно субримановых метрик. Вопросы теории квадратичных условий явились также стимулом для исследования возможности приближения произвольного векторного поля в конечномерном пространстве градиентными полями. А.А. находит формулу двойственности, которая связывает между собой нормированную циркуляцию векторного поля с расстоянием от этого поля до множества градиентных векторных полей (Russian J. of Math. Phys., 1995, v. 3, no 1 ).

        Исследования по теории экстремума привели А.А. и его коллег к новым подходам и глубоким нетривиальным результатам в таких областях как математическая теория вибраций (Russian J. of Math. Physics, 1997, v. 5, no 2, с В.Л. Бодневой), асимптотический метод Крылова-Боголюбова (УМН, 1987, 42: 3, с ней же), двойственность в задаче Монжа-Канторовича о перемещении масс (УМН, 1979, т. 34, вып. 3, с В.Л.Левиным), принципа максимума для дифференциальных включений, дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, интегральные квадратичные формы на бесконечном интервале. А.А. удалось переосмыслить идеи вариационного исчисления и распространить их на новый тип минимума -- т.н. понтрягинский минимум, -- характерный для задач оптимального управления. Построенная теория изложена в монографии А.А. Милютина и Н.П. Осмоловского "Вариационное исчисление и оптимальное управление" (Американское мат. общество, 1998).

          В исследованиях А.А. Милютина, во многом опередивших своё время, содержатся и плодотворные идеи, и глубокие теоремы, и большое число ярких примеров, являющихся свидетельством его выдающегося дара и творческой силы. Алексей Алексеевич был безусловным лидером в области оптимального управления, оказавшим стимулирующее влияние на многих исследователей в разных областях математики. Он был незаурядной личностью и прожил свою жизнь честно и бескомпромиссно. Его внезапная смерть явилась полной неожиданностью для всех, кто его знал - учеников, коллег и близких. Светлая память об Алексее Алексеевиче навсегда сохранится в наших сердцах.

В.Л. Боднева, В.Г. Болтянский, И.М. Гельфанд,

В.В. Дикусар, А.В. Дмитрук, А.Д. Иоффе,

В.Л. Левин, Я.М. Каждан, Н.П. Осмоловский,

В.М. Тихомиров, Г.М. Хенкин.